حل کاردرکلاس صفحه 74 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 74 ریاضی دهم سلام دانش‌آموزان عزیز! در این تمرین، ما معادلات درجه دوم را با استفاده از روش قدرتمند **مربع کامل کردن** حل می‌کنیم. این روش شامل تبدیل عبارت‌های $ax^2 + bx$ به یک اتحاد مربع کامل است تا بتوانیم از ریشه‌گیری استفاده کنیم. ### **الف) $\mathbf{x^2 + 2x = 24}$** **گام ۱: مربع کامل کردن** * ضریب $x$ برابر $2$ است. نصف آن $(2/2) = 1$ است. مربع آن $1^2 = 1$. * عدد $1$ را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم: $$x^2 + 2x + 1 = 24 + 1$$ **گام ۲: تبدیل به اتحاد و ساده‌سازی** $$(x + 1)^2 = 25$$ **گام ۳: ریشه‌گیری** از دو طرف جذر می‌گیریم: $$x + 1 = \pm \sqrt{25} \Rightarrow x + 1 = \pm 5$$ **گام ۴: یافتن جواب‌ها** 1. **حالت مثبت:** $$x + 1 = 5 \Rightarrow \mathbf{x_1 = 4}$$ 2. **حالت منفی:** $$x + 1 = -5 \Rightarrow \mathbf{x_2 = -6}$$ --- ### **ب) $\mathbf{t^2 + 3t = 3}$** **گام ۱: مربع کامل کردن** * ضریب $t$ برابر $3$ است. نصف آن $(\frac{3}{2})$ است. مربع آن $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. * عدد $\frac{9}{4}$ را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم: $$t^2 + 3t + \frac{9}{4} = 3 + \frac{9}{4}$$ **گام ۲: تبدیل به اتحاد و ساده‌سازی** $$\left(t + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{12}{4} + \frac{9}{4}$$ $$\left(t + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{21}{4}$$ **گام ۳: ریشه‌گیری** $$t + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{21}{4}} \Rightarrow t + \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$$ **گام ۴: یافتن جواب‌ها** $$t = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$$ $$\mathbf{t = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}}$$ --- ### **پ) $\mathbf{n^2 - 4n + 5 = 0}$** **گام ۱: آماده‌سازی و مربع کامل کردن** * جمله‌ی ثابت را به طرف راست می‌بریم: $$n^2 - 4n = -5$$ * ضریب $n$ برابر $-4$ است. نصف آن $(\frac{-4}{2}) = -2$ است. مربع آن $(-2)^2 = 4$. * عدد $4$ را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم: $$n^2 - 4n + 4 = -5 + 4$$ **گام ۲: تبدیل به اتحاد و ساده‌سازی** $$(n - 2)^2 = -1$$ **گام ۳: ریشه‌گیری و بحث در مورد وجود جواب** * چون مربع هر عدد حقیقی، همواره **نامنفی** است، هرگز نمی‌تواند برابر با $-1$ شود. $$\mathbf{\text{معادله جواب حقیقی ندارد (ریشه ندارد.)}}$$ --- ### **ت) $\mathbf{2r^2 + r - 2 = 0}$** **گام ۱: استانداردسازی (ضریب $\mathbf{r^2}$ باید ۱ باشد)** * تمام جملات را بر ضریب $r^2$ (یعنی $2$) تقسیم می‌کنیم: $$r^2 + \frac{1}{2}r - 1 = 0$$ * جمله‌ی ثابت را به طرف راست می‌بریم: $$r^2 + \frac{1}{2}r = 1$$ **گام ۲: مربع کامل کردن** * ضریب $r$ برابر $\frac{1}{2}$ است. نصف آن $(\frac{1}{2} \div 2) = \frac{1}{4}$ است. مربع آن $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$. * عدد $\frac{1}{16}$ را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم: $$r^2 + \frac{1}{2}r + \frac{1}{16} = 1 + \frac{1}{16}$$ **گام ۳: تبدیل به اتحاد و ساده‌سازی** $$\left(r + \frac{1}{4}\right)^2 = \frac{16}{16} + \frac{1}{16}$$ $$\left(r + \frac{1}{4}\right)^2 = \frac{17}{16}$$ **گام ۴: ریشه‌گیری و یافتن جواب‌ها** $$r + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{17}{16}} \Rightarrow r + \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$$ $$r = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$$ $$\mathbf{r = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}}$$